Boletín -16

Boletín  número  -16

9 de Mayo de 2006

ÍNDICE:

InfoICM2006 está elaborado por el gabinete de comunicación del evento (Ignacio Fernández Bayo, Mónica G. Salomone, Clemente Álvarez, Pablo Francescutti y Laura Sánchez).

Las matemáticas, una ciencia clave para entender la vida

Un simposio antesala del ICM analiza el papel de las matemáticas en el siglo XXI

Las matemáticas empiezan a ser cruciales no sólo para tener éxito en las finanzas, o para la física y la ingeniería. También las ciencias de la vida necesitan cada vez con mayor urgencia echar mano de las matemáticas, ya sea para entender qué efecto tendrá el cambio climático sobre un ecosistema, ya para interpretar la información inscrita en el genoma o diseñar una nueva terapia contra el cáncer. Es una de las conclusiones del simposio “Matemáticas para el siglo XXI”, que ha tenido lugar estos días en la Fundación Ramón Areces, en Madrid, y al que han asistido, entre otros ponentes, dos medallas Fields –el máximo galardón en matemáticas—y el presidente de la Unión Matemática Internacional.

“La nanotecnología; la biomedicina con toda la nueva información procedente de la genómica y la proteómica; las neurociencias; el estudio de la biodiversidad y en general de cómo proteger el medio ambiente... Son las ciencias emergentes de este siglo, y las matemáticas juegan un papel clave en su ascenso. De hecho muchos consideran a las matemáticas una tecnología emergente en sí misma”, dijo Manuel de León, presidente del Comité Ejecutivo del Congreso Internacional de Matemáticos 2006 (ICM2006, Madrid, agosto 2006) y organizador del simposio en la Ramón Areces.

En las jornadas se repasaron algunas de las áreas con más ‘potencial de crecimiento’ para las matemáticas. Avner Friedman, de la Universidad de Ohio y director del Instituto Matemático de Biociencias, creado en 2002, asegura que “el futuro de las matemáticas está en la biología”. Y explica: “La biología está llena de problemas muy complicados, y está avanzado muy rápidamente en los últimos años. Eso está haciendo que los biólogos tengan un montón de datos, tantos que no saben qué hacer con ellos. De ahí la importancia de las matemáticas: es muy difícil extraer información de los datos biológicos sin la ayuda de las matemáticas. Es una gran oportunidad para nosotros”. Para los matemáticos sin embargo es un área muy nueva, de forma que uno de los objetivos principales del joven instituto de Friedman, financiado con fondos públicos, es justamente promover el ‘matrimonio’ de conveniencia entre ambas ciencias.

Para Friedman, además, se trata de un reto “urgente”, porque hay muchas vidas en juego. Él expuso en su charla varios ejemplos de modelos matemático-biológicos: para describir el funcionamiento de parte de una neurona; y para buscar el mejor tratamiento posible en un cierto tipo de tumor cerebral. Pero la lista de aplicaciones es mucho más extensa. Las matemáticas, para Friedman, serán claves en la lucha contra la diabetes y la obesidad, el sida o las enfermedades cardiovasculares.

“Las matemáticas son hoy lo que el microscopio el siglo pasado”
Jordi Bascompte, investigador del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) en la Estación Biológica de Doñana, coincidió con Friedman en el valor de las matemáticas a la hora de buscar un sentido al flujo cada vez mayor de datos biológicos. “Hasta ahora la biología ha sido una ciencia eminentemente descriptiva, pero no hemos sido tan buenos a la hora de construir un cuerpo teórico que nos permita predecir. Por ejemplo, sabemos contar especies y cómo fluctúan las poblaciones, pero no sabemos cuánto podemos explotar una pesquería sin que se agote el recurso, o talar una selva tropical sin que el ecosistema entero acabe colapsando. Son preguntas que no podemos abordar de forma descriptiva, porque llevaría años y además sería demasiado tarde, necesitamos atajos”, dice Bascompte.

Las matemáticas están proporcionando esos atajos. De ellas proviene, por ejemplo, un concepto “muy importante y que ha supuesto un cambio de paradigma” para los ecólogos, señala Bascompte: los ‘umbrales de extinción’. “Antes se creía que, si destruías el 20% del hábitat, pues quedaba aún el 80%. Pero hoy sabemos que hay un umbral [de destrucción del hábitat] que, cuando se supera, la especie colapsa. Son puntos críticos, como cuando empujas un vaso hasta el borde de la mesa. No pasa nada... hasta que el vaso se cae”. Esos mismos puntos críticos existen por ejemplo cuando se vierten contaminantes en un lago: superada una cierta cantidad, se llega a un punto de ‘no retorno’ en que, por mucho que se limpie o se añadan nutrientes, el ecosistema no se recupera.

También gracias a las matemáticas pueden los ecólogos modelizar la actual pérdida de biodiversidad –para muchos la biosfera vive actualmente su ‘sexta extinción’, causada por la acción humana y equiparable a la que causó la desaparición de los dinosaurios no voladores--. Las predicciones no son optimistas: “Lo que se ha encontrado es que los principales efectos se notarán dentro de varios siglos”, dice Bascompte. Una idea que lleva a los ‘fantasmas ecológicos’, especies que existen hoy... pero que tienen los días contados.

“Nosotros tenemos problemas interesantes”, dice Bascompte, “y los matemáticos tienen las herramientas. Las matemáticas son hoy lo que fue el microscopio hace un siglo: permiten ver cosas muy bonitas, profundizar y hallar patrones generales”.

Modelizando lo más pequeño
Las nanociencias, que estudian lo que ocurre a escalas de millonésimas de milímetro y que se consideran la ciencia emergente por excelencia, estuvieron represantadas en el simposio por Jesús Ildefonso Díaz Díaz, de la Universidad Complutense de Madrid. Este matemático ha logrado modelizar un fenómeno que ocurre en la nanotecnología: el drástico cambio de propiedades que sufre un sistema en función de la escala a que se manipule. Los nanotecnólogos saben que el oro se vuelve conductor si se fragmenta en nanopartículas, por ejemplo. Díaz ha desarrollado un modelo matemático que describe cómo la adsorción, el proceso por el cual las moléculas son atrapadas o retenidas en la superficie de un material, varía según la escala de las partículas implicadas. Y eso modelo le permite predecir cómo mejorar el proceso.

Alain Connes, medalla Fields 1982, realizó una descripción mátemática del ‘modelo estándar’, que describe los primeros instantes de la vida del Universo –el ‘Big Bang’—. El modelo estándar es un desarrollo de la física, en el que los matemáticos, según explicó el propio Connes, aún no han profundizado.

Otros temas tratados fueron las finanzas –cómo predecir las pérdidas y evaluar los riesgos--; los aspectos matemáticos del procesado de imágenes; los ‘límites’ de la inteligencia artificial; o la eficiencia de los procesos de combustión, que generan más del ochenta por ciento de la energía que emplea hoy la humanidad.

Proteger la unidad de las matemáticas
El británico John Ball, presidente de la Unión Matemática Internacional, y el medalla Fields Efim Zelmanov, se refirieron a la importancia del Congreso Internacional que se celebrará en Madrid en agosto. Para Ball, “será una oportunidad única de escuchar a los mejores matemáticos del mundo en una amplia variedad de áreas”. Y en opinión de Zelmanov, ayudará a “mantener la unidad de las matemáticas”: “A pesar de que en los últimos años el volumen de las publicaciones en matemáticas ha crecido muchísimo, los mejores trabajos matemáticos son interdisciplinares, implican ideas de muchas áreas. Por eso hay que hacer todo el esfuerzo necesario para mantener unidas a las matemáticas, es esencial. De ahí la importancia de este congreso”.

Más información:
http://www.fundacionareces.es/0factos.htm
(“Actos programados en el primer semestre” y después a “Matemáticas para el siglo XXI”).

 

Francisco Santos Leal. Conferenciante invitado al ICM2006

“A veces resulta más sencillo trabajar con seis dimensiones que con las tres de nuestra vida cotidiana”

 

Entre los matemáticos españoles invitados a pronunciar una conferencia dentro de las diferentes secciones del ICM2006 se encuentra Francisco Santos Leal (Valladolid, 1968), profesor de Geometría y Topología en la Universidad de Cantabria. Su conferencia versará sobre “Triangulaciones de politopos”, un tema en el que es un experto internacionalmente reconocido. Aunque para los no iniciados la denominación no arroja mucha luz sobre su contenido, la cosa se suaviza si se explica que un politopo es un forma geométrica equivalente, aunque en cualquier número de dimensiones, al polígono en el plano (2-D) y el poliedro en el espacio (3-D).

¿Y qué son las triangulaciones de politopos?
Triangular un polígono es dividirlo en triángulos, y en el caso de un poliedro es dividirlo en tetraedros. De la misma manera, triangular un politopo es dividirlo en símplices, los equivalentes en la dimensión de que se trate.

¿Cuál ha sido su aportación más relevante en este terreno?
En el año 2000 publiqué la descripción de cierta triangulación de un politopo con seis dimensiones y más de 300 vértices. La triangulación en cuestión tenía propiedades sorprendentes, que alguien había conjeturado que ninguna traiangulación podría tener. Dos años después realicé una triangulación parecida en dimensión cinco y con solo una treintena de vértices.

¿Y por qué en dimensiones seis y cinco?
La razón es, simple y llanamente, que no fui capaz de hacerlo con menos. Aunque parezca extraño, habitualmente resulta más sencillo hacer las cosas con más dimensiones que con menos; a veces con seis dimensiones es más fácil que con las tres que conocemos por nuestra experiencia cotidiana. Por poner un símil, el trabajo de un gimnasta se complica si, a la dificultad de hacer piruetas se une el que tenga que hacerlas en un espacio reducido. Mi frustración es no haber conseguido hacer la triangulación correspondiente en un espacio de tres dimensiones.

¿Qué aplicaciones tiene estas investigaciones?
La principal motivación de buena parte de los matemáticos es puramente estética, pero la triangulación de politopos tiene aplicaciones en topografía, resolución numérica de ecuaciones de varias variables, en diseño geométrico... En particular, para ciertos problemas de geometría computacional se usan algoritmos que buscan una triangulación óptima mediante combinatoria. Además, tiene otras aplicaciones sorprendentes en matemática pura. En particular, parte de mi trabajo se ha dedicado a explorar las conexiones con geometría algebraica y topología combinatoria, pero es una cuestión tan abstracta que resultaría de difícil comprensión para el lector medio. A describir estas aplicaciones dedicaré también mi intervención en el ICM.

Ha citado la combinatoria, que además es el nombre de la sección en la que participa. ¿En qué consiste?
Combinatoria es en esencia el arte de contar. O más bien, de saber cuantos objetos hay sin tener que contarlos. Por ejemplo, se puede determinar que hay 13.983.816 resultados posibles en la lotería primitiva diciendo que es el ‘número combinatorio 49 sobre 6’. Y también puede aplicarse en un contexto geométrico.

¿Cómo?
Mediante las relaciones entre los elementos típicos de las formas geométricas, como los vértices. Uno de los teoremas más conocidos de la combinatoria geométrica es la fórmula de Euler que estudian todos los alumnos de secundaria, la que indica que en todo poliedro la suma de los números de vértices y caras es igual al número de aristas más dos. Otro ejemplo es la llamada ‘conjetura de Kepler’, cuya demostración ha tardado casi 400 años, hasta que la realizó Thomas Hales hace unos pocos años. Esta conjetura dice que la mejor manera de empaquetar esferas iguales es el llamado empaquetamiento cúbico compacto, que es el que utilizan habitualmente los fruteros para colocar las naranjas. Aunque el resultado es obvio, la demostración era muy compleja y ha exigido una ingente cantidad de cálculos por ordenador.

 

Página personal:
 http://personales.unican.es/santosf/

Conferencia plenaria: Oded Schramm

Cuando la física se adelanta a las matemáticas

Reacciones nucleares, organismos vivos, estudios sociológicos… Durante muchos años los físicos han elaborado predicciones para describir el comportamiento de estos sistemas. Solo recientemente algunas de estas predicciones han encontrado una prueba matemática. Oded Schramm presentará en la sesión plenaria que impartirá en el ICM2006 diversos problemas abiertos; algunos de ellos han sido escogidos para mostrar conocimientos de la física que todavía no han sido comprendidos matemáticamente.
Schramm hablará sobre sistemas aleatorios en el plano, y cómo entender su comportamiento. Un ejemplo de sistema aleatorio es el conocido con el nombre de percolación, que estudia cómo se mueve un fluido en un material poroso. En el caso del petróleo y el gas natural, los resultados teóricos en esta área han ayudado a mejorar la productividad de las explotaciones de ambos recursos.
Aunque algunos sistemas de los estudiados por el profesor Schramm están bien definidos matemáticamente, éste afirma que “a menudo los argumentos dados por la física no pueden traducirse en argumentos matemáticos que tengan sentido”.

Oded Schramm nació en Jerusalén en 1961. Tras obtener su licenciatura en matemáticas en la Universidad Hebrea se trasladó a Estados Unidos para cursar su doctorado en la Universidad de Princeton. Desde 1999 trabaja en Microsoft Research. Ha recibido importantes premios, como el Clay Research Award en 2002 o el Henri Poincaré Prize en 2003.

Conferenciante: Oded Schramm
Título: Random, conformally invariant scaling limits in 2 dimensions
Fecha: Miércoles, 30 de agosto, 11:45-12.45

Programa científico del ICM2006
/scientificprogram/plenarylectures/

Página personal de Oded Schramm:
http://research.microsoft.com/~schramm/

 

El ICM2006, sección a sección

Grupos de Lie y álgebras de Lie

 “El orden de los factores no altera el producto” es una expresión que oímos con frecuencia. Sin embargo, muchos fenómenos de la vida cotidiana son “no conmutativos”, es decir su resultado depende del orden en que aparecen. Pensemos por ejemplo en un avión que se acerca a un aeropuerto y al que se ordena que se mueva 10 millas hacia el norte (maniobra A) y que dé una vuelta de 180 grados alrededor de la torre de control (maniobra B).  La posición final después de realizar los desplazamientos AB o BA es completamente distinta.
Una de las ideas más fructíferas de las matemáticas del siglo XIX fue reconocer que este tipo de “operaciones” con desplazamientos, y con transformaciones físicas más complicadas, tienen una semejanza formal con las operaciones que realizamos con números (salvo la conmutatividad), lo que permite su estudio sistemático. Se trata por otra parte de fenómenos “no discretos” (giros, traslaciones, contracciones, transformaciones relativistas), que nos llevan al  uso de técnicas geométricas y no solamente algebraicas.
Esta teoría de “grupos continuos de transformaciones” fue iniciada por el matemático noruego Sophus Lie (1842-1899) y en la actualidad es una herramienta esencial en robótica (teoría del control) o en física teórica (mecánica cuántica). En matemática pura ha sido la teoría que ha permitido unificar todas las llamadas geometrías no euclidianas.
Ahora bien, la descripción de un sistema físico y de sus movimientos o transformaciones es bastante compleja (pensemos en una peonza que gira, cabecea y se desplaza); y  sin embargo, es posible codificarla en unas pocas variables y ecuaciones algebraicas, de manera análoga a cómo uno puede conocer la órbita de un planeta dando únicamente la velocidad y dirección en cada punto en vez de la trayectoria completa. Este objeto algebraico que codifica y simplifica la descripción de un grupo continuo de transformaciones es lo que llamamos su “álgebra de Lie”.
En la actualidad, la teoría de álgebras de Lie está bien establecida, y se utiliza en campos tan variados como el estudio de ecuaciones diferenciales (modelos matemáticos) o la espectroscopía nuclear; por otra parte, las llamadas superálgebras de Lie, relacionadas con la física de partículas, son un campo activísimo de investigación para físicos y matemáticos.

Enrique Macias Virgós
Universidad de Santiago de Compostela


Congresos satélite: Portugal

Las matemáticas aportan los cimientos de la Era Digital

 

La Era Digital ha transformado drásticamente la forma en que los investigadores buscan, producen, publican y difunden su trabajo científico. Este fenómeno implica a los matemáticos de doble manera: 1) en su calidad de usuarios de las redes, al igual que cualquiera de sus colegas de otras disciplinas; y 2) como especialistas encargados de proveer a las Ciencias de la Información y a las tecnologías de la Ciencia de la Computación los paradigmas y herramientas necesarias para el diseño de librerías digitales, publicaciones electrónicas, buscadores de Internet, catálogos de recursos científicos y retrodigitalización (digitalización de textos publicados originalmente en papel), entre otros aspectos de acuciante interés para la diseminación del conocimiento.
Tales son algunos de los puntos del extenso temario que se tratará en la reunión a celebrarse en Aveiro (Portugal), el próximo mes de agosto. Se trata de uno de los diez simposios satélites que tendrán lugar en el país luso a partir de junio, en los cuales se abordarán temas tan diversos como las soluciones matemáticas a problemas de las telecomunicaciones, la turbulencia y la hidrodinámica, y la súper álgebra de Lie.

Simposios en Portugal:

Communicating Mathematics in the Digital Era,
Aveiro, 15-18 Agosto
Persona de contacto: Eugenio Rocha
e-mail: eugenio@mat.ua.pt
web: http://www.cmde2006.org/

XVth Oporto Meeting on Geometry, Topology and Physics
Oporto, 20-23 Julio
Persona de contacto: Miguel Costa / Roger Picken
e-mail: miguelc@fc.up.pt
web: http://www.fc.up.pt/cfp/omgtp2006/index.html
 
”The Summer School "Statistical Tools in Knowledge Building"
 Coimbra, 23-29 Julio
Persona de contacto: Dinis Pestana
e-mail: dinis.pestana@fc.ul.pt 
 
”New Trends in Viscosity Solutions and Nonlinear PDE”
 Lisboa, 24-28 Julio
Persona de contacto: Diogo Gomes
e-mail:  dgomes@math.ist.utl.pt
web: http://www.math.ist.utl.pt/~dgomes/newtrends/ 

.Workshop From Lie algebras to quantum groups
Coimbra, 28-30 Junio
Persona  de contacto: Joana Teles
e-mail: jteles@mat.uc.pt
web: http://www.aim.estt.ipt.pt/~jmmp/CIM/Lie/

Stochastic Analysis in Mathematical Physics
Lisboa, 4-8 Septiembre
Person ade contacto: J.C. Zambrini / Ana Bela Cruzeiro
e-mail: zambrini@cii.fc.ul.pt
web: http://gfm.cii.fc.ul.pt/events-en/samp2006/

3rd International Workshop on Mathematical Techniques and Problems in Telecommunications
Leiria, 4-8 Septiembre
Persona de contacto: Antonio Navarro
e-mail:  navarro@av.it.pt
web: http://www.mtpt.it.pt/

International Summer School and Workshop on Operator Algebras, Operator Theory and Applications
ITS-Lisboa (Portugal),1-5 Septiembre
Persona de contacto: Amélia Bastos
e-mail: abastos@math.ist.utl.pt
web: http://woat2006.ist.utl.pt/
Geometric Aspects of Integrable Systems
University of Coimbra,17 -19 Julio
Persona de contacto: Joana Nunes da Costa
e-mail: jmcosta@mat.uc.pt
web: http://www.mat.uc.pt/~geomis/

Summer School on Calculus of Variations and Applications, Ponta Delgada (Azores), 4-9 Septiembre
Persona de contacto:    Margarida Baía
e-mail: mbaia@math.ist.utl.pt
Web: http://www.math.ist.utl.pt/~dgomes/sscva

 

Aplicaciones de las matemáticas

La magia del cine

Película “El Señor de los Anillos”. Tercera parte: “El Retorno del Rey”. En una de las últimas escenas, Gollum cae en un mar de lava con el anillo en la mano. El personaje se hunde poco a poco en la materia viscosa e incandescente mientras sujeta feliz su tesoro. La secuencia dura sólo unos segundos, pero ha podido suponer cerca de un mes de trabajo de al menos dos personas y muchas, muchas, ecuaciones para simular por ordenador el movimiento de la lava. Curiosamente, detrás de esta secuencia hay una empresa española, Next Limit, una compañía de ingenieros dedicados a la investigación y el desarrollo en muy diversos campos, no sólo el cine. Como explica Víctor González, fundador y director general de la empresa, para reproducir en el ordenador una lava lo más realista posible han utilizado una herramienta propia, RealFlow, basada en el método matemático lagrangiano o la simulación de fluido por partículas. Esto supone calcular el movimiento de una partícula en un determinado fluido en función de sus propiedades y de la interacción con el resto de su entorno. De esta forma se reproduce el comportamiento de un material como la lava, que puede cambiar de viscosidad para fluir deprisa cuando está caliente o frenarse según se va enfriando. La complejidad de la simulación viene marcada por el número de partículas: hasta entonces, lo máximo con lo que había trabajado la empresa Next Limit eran 500.000 partículas, pero para las escenas de la película de “El Señor de los Anillos” tuvieron que realizar los cálculos para 2.000.000. Después de reproducir en un ordenador el movimiento real de la lava a través de puntos, el siguiente paso consiste en unirlos entre ellos para crear un volumen uniforme y, finalmente, darle a éste la apariencia definitiva del material volcánico, con su color, sus reflejos... Esta es la magia de muchos de los efectos especiales que tanto hacen disfrutar a los espectadores de hoy en las salas de cine.

Para saber más:
Víctor González:
info@nextlimit.com

Web de Next Limit:
www.nextlimit.com
www.realflow.com